（1）一维随机变量的数字特征

离散型

连续型

期望

期望就是平均值

设X是离散型随机变量，其分布律为P( )＝pk，k=1,2,…,n，

（要求绝对收敛）

设X是连续型随机变量，其概率密度为f(x)，

（要求绝对收敛）

函数的期望

Y=g(X)

Y=g(X)

方差

D(X)=E[X-E(X)]2，

标准差

，

矩

①对于正整数k，称随机变量X的k次幂的数学期望为X的k阶原点矩，记为vk,即

νk=E(Xk)= , k=1,2, ….

②对于正整数k，称随机变量X与E（X）差的k次幂的数学期望为X的k阶中心矩，记为，即

= ，  k=1,2, ….

①对于正整数k，称随机变量X的k次幂的数学期望为X的k阶原点矩，记为vk,即

νk=E(Xk)=

 k=1,2, ….

②对于正整数k，称随机变量X与E（X）差的k次幂的数学期望为X的k阶中心矩，记为，即

=

k=1,2, ….

切比雪夫不等式

设随机变量X具有数学期望E（X）=μ，方差D（X）=σ2，则对于任意正数ε，有下列切比雪夫不等式

切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下，对概率

的一种估计，它在理论上有重要意义。

（2）期望的性质

（1）        E(C)=C

（2）        E(CX)=CE(X)

（3）        E(X+Y)=E(X)+E(Y)，

（4）        E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件：X和Y独立；

                          充要条件：X和Y不相关。

（3）方差的性质

（1）        D(C)=0；E(C)=C

（2）        D(aX)=a2D(X)；   E(aX)=aE(X)

（3）        D(aX+b)= a2D(X)；   E(aX+b)=aE(X)+b

（4）        D(X)=E(X2)-E2(X)

（5）        D(X±Y)=D(X)+D(Y)，充分条件：X和Y独立；

                             充要条件：X和Y不相关。

           D(X±Y)=D(X)+D(Y) ±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]，无条件成立。

而E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。

（4）常见分布的期望和方差

期望

方差

0-1分布

p

二项分布

np

泊松分布

几何分布

超几何分布

均匀分布

指数分布

正态分布

n

2n

t分布

0

(n>2)

（5）二维随机变量的数字特征

期望

函数的期望

＝

＝

方差

协方差

对于随机变量X与Y，称它们的二阶混合中心矩  为X与Y的协方差或相关矩，记为  ，即

与记号 相对应，X与Y的方差D（X）与D（Y）也可分别记为  与 。

相关系数

对于随机变量X与Y，如果D（X）>0, D(Y)>0，则称

为X与Y的相关系数，记作  （有时可简记为 ）。

    | |≤1，当| |=1时，称X与Y完全相关：

完全相关

而当 时，称X与Y不相关。

以下五个命题是等价的：

①  ；

②cov(X,Y)=0;

③E(XY)=E(X)E(Y);

④D(X+Y)=D(X)+D(Y);

⑤D(X-Y)=D(X)+D(Y).

协方差矩阵

混合矩

对于随机变量X与Y，如果有  存在，则称之为X与Y的k+l阶混合原点矩，记为 ；k+l阶混合中心矩记为：

（6）协方差的性质

(i)               cov (X, Y)=cov (Y, X);

(ii)           cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);

(iii)        cov(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y);

(iv)               cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).

（7）独立和不相关

（i）                    若随机变量X与Y相互独立，则  ；反之不真。

（ii）                若（X，Y）～N（ ），

则X与Y相互独立的充要条件是X和Y不相关。